Арифметическая прогрессия

 

 Карл Фридрих Гаусс

Родился Карл Гаусс 30 апреля 1777 года в немецком герцогстве Брауншвейг в семье бедного смотрителя каналов. Уже в 2 года родственники мальчика признали его гением. В 3 года он читал, писал и исправлял счетные ошибки отца. В школе гениальность мальчика подметил его учитель Мартин Бартельс, который позже обучал Николая Лобачевского. Педагог направил ходатайство герцогу Брауншвейгскому и добился для юноши стипендии в крупнейшем техническом университете Германии.

• Математические открытия:

Карл Гаусс сделал фундаментальные открытия почти во всех областях алгебры и геометрии. Самым плодотворным периодом считается время его обучения в Гёттингенском университете.

1) С 1795 по 1798 год Гаусс учился в Гёттингенском университете, где его учителем был А. Г. Кестнер. Это — наиболее плодотворный период в жизни Гаусса.

1796 год: Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки:

Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на своей могиле правильный семнадцатиугольник, вписанный в круг.

2) В 1801 году Клаус издает труд «Арифметические исследования». Через 30 лет на свет появится очередной шедевр немецкого математика – «Теория биквадратичных вычетов». В нем приводятся доказательства важных арифметических теорем для вещественных и комплексных чисел.

(Гаусс стал первым, кто представил доказательства основной теоремы алгебры и начал изучать внутреннюю геометрию поверхностей. Он также открыл кольцо целых комплексных гауссовых чисел, решил много математических проблем, вывел теорию сравнений, заложил основы римановой геометрии.)

3) •1824 год: избирается иностранным почётным членом Петербургской Академии наук.

   •1825 год: открывает гауссовы комплексные целые числа, строит для них теорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения сравнений высоких степеней.

4) 1832 год: «Теория биквадратичных вычетов». С помощью тех же целых комплексных гауссовых чисел доказываются важные арифметические теоремы не только для комплексных, но и для вещественных чисел. Здесь же Гаусс приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая с этого момента становится общепринятой.

Определение числовой последовательности

 

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

 

Последовательности можно задавать разными способами:

 

 Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:

«Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...»

 

 

Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n).

Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.

 

 

Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

 

Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.

 

Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

 

 

Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами

1, 2, 3, 4...

прогрессия

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

 

Свойства числовых последовательностей:

 

 

Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:

y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …

 

 

Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …

 

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

 

 

Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.

 

 

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, −1, −2, −11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

 

Пример числовой последовательности выглядит так:

 

 В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

 

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

 

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2,..., a10..., an.

 

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

 

Формула an = 3n − 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…

Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6...

 

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

 

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

 

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,..., an,... для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

 

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

 

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

 

 Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

 

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

  

1.     Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23... — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

 

 

2.     Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 42... — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.

 

 

3.     Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.

Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23... — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

 

 

Свойство арифметической прогрессии

           Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

 

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Поэтому:

          

и т.д.

 Значит

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

 

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

 

Формулу an = a1 + d * (n - 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

 

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

 

 

1.     Рекуррентной формулой:

                                           

2.     Формулой n-го члена: an = a1+ d · (n - 1).

 

3.     Формулой вида an = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается                

Sn:

                                       

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

                              

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

             

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

 

Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2.

 

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

 

Решение арифметической прогрессии:

 

1.     Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

a2 = a1 + d = 0 + 2 = 2;

 

a3 = a2 + d = 2 + 2 = 4;

 

a4 = a3 + d = 4 + 2 = 6;

 

a5 = a4 + d = 6 + 2 = 8.

 

2.     Используем общую формулу an = a1 + d * (n - 1).

По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

 

                       Треугольник паскаля

Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. Числа, составляющие треугольник Паскаля, возникают естественным образом в алгебре, комбинаторике, теории вероятностей, математическом анализе, теории чисел.
Построить фигуру можно следующим образом:
В центре верхней части листа ставится цифра "1". В следующем ряду — две единицы слева и справа от центра (получается треугольная форма). В каждой последующей строке ряд будет начинаться и заканчиваться числом "1". Внутренние члены вычисляются путём суммирования двух Запись в n строке и k столбце паскалевской фигуры обозначается (n k). Например, уникальная ненулевая запись в самой верхней строке (0 0) = 1. С помощью этого конструкция предыдущего абзаца может быть записана следующим образом, образуя формулу треугольника Паскаля (n k) = (n - 1 k-1) + (n - 1 k), для любого неотрицательного целого числа n и любого целого числа k от 0 до n включительно.

                                   Свойства:

1) Сумма элементов одной строки в два раза больше суммы строки, предшествующей ей. Например, строка 0 (самая верхняя) имеет значение 1, строчка 1–2, а 2 имеет значение 4 и т. д. Это потому что каждый элемент в строке производит два элемента в следующем ряду: один слева и один справа. Сумма элементов строки n равна 2 n.

2) Принимая произведение элементов в каждой строке, последовательность продуктов можно связать с основанием натурального логарифма.

3) В треугольнике Паскаля через бесконечный ряд Нилаканты можно найти число Пи.

4) Значение строки, если каждая запись считается десятичным знаком (имеется в виду, что числа больше 9 переносятся соответственно), является степенью 11 (11n для строки n). Таким образом, в строке 2 ⟨1, 2, 1⟩ становится 112, равно как ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ в строке пять становится (после переноса) 161, 051, что составляет 115. Это свойство объясняется установкой x = 10 в биномиальном разложении (x + 1) n и корректировкой значений в десятичной системе.

5) Некоторые числа в треугольнике Паскаля соотносятся с числами в треугольнике Лозанича.

6) Сумма квадратов элементов строки n равна среднему элементу строки 2 n. Например, 1 2 + 4 2 + 6 2 + 4 2 + 1 2 = 70.

7) В любой строчке n, где n является чётным, средний член за вычетом члена в двух точках слева равен каталонскому числу (n / 2 + 1).

8) В строчке р, где р представляет собой простое число, все члены в этой строке, за исключением 1s, являются кратными р.

9) Чётность. Для измерения нечётных терминов в строке n необходимо преобразовать n в двоичную форму. Пусть x будет числом 1s в двоичном представлении. Тогда количество нечётных членов будет 2 х. Эти числа являются значениями в последовательности Гулда.

10) Каждая запись в строке 2 n-1, n ≥ 0, является нечетной.

11) Полярность. Когда элементы строки треугольника Паскаля складываются и вычитаются вместе последовательно, каждая строка со средним числом, означающим строки с нечётным числом целых чисел, даёт 0 в качестве результата.

12) Наибольший общий делитель (сокращенно – НОД) от двух Ф-чисел равняется Ф-числу под порядковым номером, вычисляемым как НОД от номеров этой пары чисел;

13) Ф-число можно разделить на другое Ф-число, только если порядковый номер первого числа можно разделить на номер второго;

14) Простым Ф-числам соответствуют такие же порядковые номера;

15) Если разделить последующий член Ф-последовательности на предыдущий, то получится число, приблизительно равное 1,618 и именуемое «Золотым сечением»;

16) Существует всего четыре числа Ф-ряда, являющиеся квадратами: 0, 1, 1, 144;

17) Если вычислить произведение либо частное пары разных Ф-чисел, то не получится Ф-число(кроме пары Ф-чисел: 1, 1);

18) Цифры в Ф-числах изменяются с некоторой периодичностью, к примеру, последняя цифра самосоответствует Ф-ряду с периодом, равным 60.0.